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放物線、二次関数

コメント欄で言及があったので、放物線と二次関数、微分・積分などについて書いてみましょう。私みたいなもんが今更ですが、やってみましょう。

中学校の時に、斜面をミニカーにすべり降ろさせて、その速度の変化を計る実験があったと思う。はっきりは覚えていないが大体こんな感じだった。

車は手を離せば斜面を走っていく。車には記録紙がつけられていて、記録紙には定期的に、多分1秒に数回、同じ時間間隔で穴をあけるようになっている。その穴の間隔で、ミニカーの速度を計ることができる。ここでは仮に1秒に5回、0.2秒に1回ということにしておきましょう。

記録紙は、大体上記のような感じに穴が開く。走り初めにはその間隔は小さい。速度が遅いからだ。

この車の速度は、穴の間隔を0.2秒で割れば出てくるはずだ。

さて、その速度変化をグラフにしてみよう。穴はみな0.2秒間隔で空いているから、穴の位置にハサミをいれて、それを横方向に張り直せばいい。

これは横軸が0.2秒で、縦軸が一定時間に走った車の距離ということになっている。

いまこれは、0.2秒ごとに速度を計っている。しかし、速度は本当は滑らかに段々早くなっていくはずだ。紙を張っただけなら、デコボコになるが、本当はまっすぐ速度が増えていくはずだ。

一方、この紙の張った長さが、この車が走った累計の距離になる。たとえば上の紙で見ると1秒間に走った距離は、5枚目までの紙の長さの和だ。

この紙の長さの和というのは、紙がデコボコしていなければ直角三角形の面積と結局一緒になる。

速度の変化のグラフが書ければ、そのグラフの下の三角形の面積が車が走った距離になるということになる。これは時間をxとすれば、ざっと言ってxの2乗の半分ということになる。

 

物が落下するときには、下に常に一定の力がかかることになる。すると、一定の速さで落ちるものの速度は増える。すると落ちて行く距離は、時間に対して2乗の関係で増えていく。

物を投げると、摩擦や風邪を考えなければ、水平方向には一定の力で移動するが、下のほうには時間の2乗の仕方で増えていく。

というわけで、この曲線は二次関数の曲線と同じ形になる。二次関数の曲線を「放物線(ものを放ってできる線)」というのはこういうことです。

 

頑張って説明したけど、どうでしょう。ここでは敢えて、普通の数学で使うような係数とか数式とは使っていません。それは高校で勉強することだと思うので。

2 thoughts on “放物線、二次関数

  1. あめ

    わかりやすいです!
    数学で実験はした記憶がないです。教科書のグラフをみただけ。

    高校の物理で似たような実験をしたような記憶があるような、ないような。

    だけど、三次元の世界は数字で表せるんですねっていうのがうっすら理解できました。

    返信
    1. simpledirect 投稿作成者

      あめさん、こんにちわ。

      自分は、中学生で実験をしたときにこのことに気が付いて、だから速度変化をグラフにしたら、その下の面積が進んだ距離になるというのを友達に話しました。
      その友達にはお姉さんがおいでになって、「それは高校で習う積分っていうんだって」というのを聞きました。
      数学って大事。それは、目の前で起こってることが数学だから。
      学校では数学は習うけど、それがどう使えるかということまではなかなか教えてもらえない。でも、その数学が発達したのはそれで説明できる事実があるからだと思います。

      返信

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